问题背景:如图1,四边形ABCD和CEFG都是正方形,B,C,E在同一条直线上,连接BG,DE.

问题背景:如图1,四边形ABCD和CEFG都是正方形,B,C,E在同一条直线上,连接BG,DE.
问题探究:
(1)①如图1所示,当G在CD边上时,猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系.(不要求证明)
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α,得到如图2,如图3情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,请选择图2或图3证明你的判断.
类比研究:
(2)若将原题中的“正方形”改为“矩形”(如图所示),且
AB
BC
=
CE
CG
=k(其中k>0),请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系.请选择图5或图6证明你的判断.
拓展应用:
(3)在(1)中图2中,连接DG、BE,若AB=3,EF=2,求BE 2 +DG 2 的值.
°高姿态 2020-06-26 悬赏5金币 已收到1个回答

aiel722

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解;(1)①BG=DE,BG⊥DE;
②仍然成立,选择图2证明如下:
证明:∵四边形ABCD、CEFG都是正方形;
∴BC=CD,CG=CE,∠BCD=∠ECG,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHO=90°,
∴∠DOH=90°,
∴BG⊥DE;

(2)BG⊥DE,
DE
BG =k,
如图5,


证明:
∵四边形ABCD,CEFG都是矩形,且
AB
BC =
EC
CG =k,

DC
BC =
EC
CG =k,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠DCE,
∴△BCG ∽ △DCE,
∴∠CBG=∠CDE,
DE
BG =k,
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHO=90°,
∴∠DOH=90°,
∴BG⊥DE;

(3)∵BG⊥DE,
∴BE 2 +DG 2 =OB 2 +OE 2 +OG 2 +OD 2 =BD 2 +GE 2
又∵AB=3,CE=2,
∴BD=3
2 ,GE=2
2 ,
∴BD 2 +GE 2 =(3
2 ) 2 +(2
2 ) 2 =26,
∴BE 2 +DG 2 =26.
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