（2011•苏州）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合

（2011•苏州）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于2
3
2
3
时，∠PAD=60°；当PA的长度等于2
2
或
8
5
5
2
2
或
8
5
5
时，△PAD是等腰三角形；
（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值．
追我的人好多！ 2020-09-27 悬赏5金币 已收到1个回答
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adt2008

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解题思路：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；当PA=PB时，△PAB是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．
（2）过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F延长FP交BC于点G，则PG⊥BC，P点坐标为（a，b），PE=b，PF=a，PG=4-a，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．

（1）若∠PAD=60°，需∠PAB=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=

3
2AB=2
3，
∴当PA的长度等于2
3时，∠PAD=60°；

若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM=PE=[1/2]AB=2，
∵PM2=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2
2，
当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，


又∵DA=2AO，∠ADG=∠GAO，
∴[OA/AD]=[OG/AG]=[1/2]，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）2+x2=4，
∴x=
2
5
5
∴AG=2x=
4
5

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形．

考点点评： 此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．

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