数列难题求高手解决.定义数列{an}:an为正整数n中最大的奇因数,例如a7=7,a18=9,Sn为数列{an}的前n项

数列难题求高手解决.
定义数列{an}:an为正整数n中最大的奇因数,例如a7=7,a18=9,Sn为数列{an}的前n项和 (1)求S8,S16,S32;(2)求证：{S2^n-S2^(n-1)}为等比数列（2^n为下标）;(3)求证：对任意的n属于N*,成立不等式1/S2^1+1/S2^2+…1/S2^n<1
歌散酒初醒 2024-04-23 悬赏9金币 已收到2个回答
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missyou

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基本要用归纳猜想
n=8以上都太繁琐 先做8以内
s2=a（1）+a（2）=2,
s4=a（1）+a（2）+a（3）+a（4）=2+3+1=6．
s8=a（1）+a（2）+a（3）+a（4）+a（5）+a（6）+a（7）+a（8）
=s2+g（5）+a（6）+a（7）+a（8）=6+5+3+7+1=6+16=22
应该可以发现 a（6）=a（3） a（8）=a（4）
猜想n≥2时,S(2^n)=S[2^(n-1)]+4^(n-1)．

证明：若k为奇数,则a（k）=k；
若k为偶数,设k=j*2^i（j为奇数,i∈N）,则a（k）=a（k/2）=a（j）=j
由此可知：n≥2时,
S（2^n）=a（1）+a（2）+a（3）+…+a（2^n）
=1+3+5+…[2^(n-1)]+a（2）+a（4）+a（6）+…a（2^n）
=
2^(n-1)[1+(2^n-1] /2 +a（1）+a（2）+…a[2^(n-1)]
=4^(n-1)+S[2^(n-1)]．
当n≥2时,S(2^n)=S[2^(n-1)]+4^(n-1)成立
于是 ：
（1）S8=22；S16=86；S32=342.
（2）{S2^n-S2^(n-1)}=4^(n-1) 是公差为4的等比数列.
（3）由（2）知,当n≥2时,{S2^n-S2^(n-1)}=4^(n-1),故有S2^n={S2^n-S2^(n-1)}+{S2^(n-1)+S2^(n-2)}+…+（S4-S2）+S2=4^(n-1)+4^(n-2)+…+4+2={4[1-4^(n-1)]/1-4 }+2=(4^n+2)/3
an =(4^n+2) /3 ；
1/S2^1+1/S2^2+…1/S2^n=1/2+1/6+.+3/(4^n+2)
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casn800

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