（2013•闵行区二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．

（2013•闵行区二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若f(2x)＝
5
4
，求x的值；
（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
╃不許メ批評 2024-03-26 悬赏19金币 已收到1个回答
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长路光明

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解题思路：（1）由f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）即可判断当a=1，b=0时，f（x）=x|x-1|既不是奇函数也不是偶函数；
（2）依题意，解方程2x|2x-1|+1=[5/4]即可，为了去掉方程中的绝对值符号需对x的取值范围分类讨论；
（3）依题意，只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x-a|＜[−b/x]即可，转化为故(x+
b
x
)max＜a＜(x−
b
x
)min，x∈（0，1]，通过构造函数g（x）=x+[b/x]与h（x）=x-[b/x]，利用函数的单调性
结合对参数b的范围的讨论即可求得实数a的取值范围．

[解]（1）当a=1，b=0时，f（x）=x|x-1|既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）
∵f（-1）=-2，f（1）=0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．…（2分）
（2）当a=1，b=1时，f（x）=x|x-1|+1，
由f（2x）=[5/4]得2x|2x-1|+1=[5/4]…（2分）
即

2x≥1
(2x)2−2x−
1
4＝0或

2x＜1
(2x)2−2x+
1
4＝0…（2分）
解得2x=
1+
2
2或2x=
1−
2
2（舍），或2x=

点评：
本题考点： 带绝对值的函数．

考点点评： 本题考查带绝对值的函数，着重考查方程思想与分类讨论思想的综合运用，考查构造函数与抽象思维及运算能力，属于难题．

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